Лейбниц. Анализ бесконечно малых - Jose Munoz Santonja Страница 22

РИС. 1 Геометрическая кривая.

РИС. 2 Циклоида

Свое название циклоида получила благодаря Галилею. Робервалю удалось найти квадратуру сегмента циклоиды, и хотя он пытался выявить способ построения касательной, это получилось сделать только у Ферма. Паскаль поставил перед научным миром задачу нахождения площади любого сегмента циклоиды и центра его тяжести. Из всех откликнувшихся он наиболее высоко оценил работу Кристофера Рена. В свою очередь Гюйгенс сформулировал задачу построения кривой, имеющей минимум, или нижнюю точку, причем если уронить шарик, который катится без учета силы трения по этой кривой вследствие тяготения, он потратит одно и то же время, чтобы достичь нижней точки, независимо оттого, из какой точки кривой он начнет движение. Эту кривую Гюйгенс назвал таутохронной. Паскаль доказал, что решением данной задачи является обратная циклоида. Лейбниц переименовал кривые, назвав их вместо геометрических алгебраическими и поменяв название механических на трансцендентные. Эта терминология все еще используется сегодня.

Так, Роберваль считал, что на движущуюся точку влияют две силы, горизонтальная и вертикальная. Диагональ прямоугольника, образованного обеими прямыми, дает направление касательной (см. рисунок).

Направление касательной по Робервалю.

Третьей основной задачей было вычисление максимумов и минимумов. Такая проблема возникала во многих повседневных ситуациях. Считается, что задачи подобного рода появились, когда Кеплер начал изучать оптимальные формы, которые должны были иметь бочонки с вином. Он доказал, что из всех прямоугольных параллелепипедов с квадратным основанием и одной и той же площадью поверхности у куба наибольший объем. Подобного рода задачи также встречались в баллистике и при изучении движения планет.

Четвертой группой задач были измерения, предполагавшие спрямление кривых, то есть трансформацию фрагмента кривой в отрезок той же длины, в связи с чем можно было узнать размер этого фрагмента кривой: нахождение квадратуры кривой, то есть площади, ограниченной этой кривой, и нахождение кубатуры тела, то есть его объема. В данную группу задач входило также вычисление центров тяжести тел и гравитационного притяжения между ними.

И ПРИШЛИ ГЕНИИ

Практически все великие математики XVII века внесли что- нибудь в развитие анализа. Ферма, например, использовал тот же самый метод построения касательных и нахождения экстремальных значений, максимумов и минимумов. Грегори и Барроу выяснили, что вычисление квадратуры и нахождение касательной были взаимосвязаны.

Нужно было, чтобы пришел кто-то с еще лучшим зрением, чтобы увидеть связи между этими проблемами. Как Ньютон, так и Лейбниц сделали качественный скачок в создании анализа посредством двух фундаментальных аспектов. Во-первых, они нашли общий метод, который можно было применить к любому типу задач. Во-вторых, они доказали, что раз задачи по дифференцированию и нахождению квадратур взаимно обратны, то, чтобы решить одну из них, достаточно инвертировать метод и найти решение другой. Этот результат известен как основная теорема анализа. Таким образом после Лейбница и Ньютона четыре проблемы анализа свелись только к двум проблемам дифференцирования и интегрирования.

ИСААК НЬЮТОН

Исаак Ньютон (1642-1727) был математиком, физиком, алхимиком, теологом и изобретателем. Он учился в Кембриджском университете, где посещал лекции Барроу, которого он затем заменил на должности преподавателя. В 1665 году Ньютон вернулся в свою родную деревню, когда университет закрылся из-за чумы, в то время опустошавшей Англию. Два года вынужденных каникул ученый занимался исследованиями в трех больших областях: оптика, тяготение и движение тел и, наконец, анализ бесконечно малых.

Ньютон всегда сопротивлялся публикации своих результатов, потому что не хотел вступать в полемику, и предпочитал посылать свои открытия в виде писем другим ученым. Из-за этого его исследования публиковались через много лет после того, как они были сделаны, что вызывало споры об авторстве.

"Начала"

В 1686 году появился первый из трех томов работы Ньютона "Математические начала натуральной философии", более известной как "Начала". В нем был изложен знаменитый закон всемирного тяготения.

В 1696 году Ньютон оставил преподавание и стал сначала смотрителем, а затем управляющим Лондонского монетного двора. Занимая эту должность, он активно содействовал проходившей в Англии денежной реформе. В 1703 году Ньютон был избран председателем Королевского общества и оставался им до самой смерти. Он также недолго входил в состав парламента, а в 1705 году королевой Анной был возведен в рыцари.

Кроме того, эти ученые предложили вычисление, абсолютно не связанное с геометрией, после чего математический анализ стал отдельной дисциплиной. Она пользовалась алгебраическими понятиями, что позволяло разработать метод, который был бы применим для любого вида функции или задачи.

Несмотря на тяжкую полемику о том, кто раньше изобрел анализ бесконечно малых, подходы Лейбница и Ньютона отличались. Ньютон вычислял производную и первообразную с помощью бесконечно малых приращений, а Лейбниц имел дело напрямую с дифференциалами. С другой стороны, Ньютон всегда работал с производными и интегралами с точки зрения относительного изменения переменных, в то время как Лейбниц использовал в своей работе суммирование членов рядов для нахождения площадей или объемов. Кроме того, Ньютон широко применял ряды для представления функций, а Лейбниц напрямую работал с общим уравнением функции. Кроме того, немецкий ученый занимался формулированием правил анализа, что не интересовало его коллегу из Англии. Если Лейбниц искал подходящие и легко используемые символы записи, то Ньютон не задавался этим вопросом. Сегодня мы применяем форму записи, созданную Лейбницем, несмотря на то что концепция анализа Ньютона более близка современной.

Ньютон изложил свой анализ в нескольких работах. Первая из них — "Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов", написанная в 1669 году, но опубликованная в 1711-м; вторая — "Метод флюксий и бесконечные ряды", законченная в 1671 году, но опубликованная только в 1736-м. В этой работе Ньютон определил свои основные элементы, флюэнты и флюксию. Первые он охарактеризовал как переменные величины, так как рассматривал прямые, плоскости и объемы как непрерывное движение точек, прямых и поверхностей. Относительное изменение этих флюэнт он назвал флюксией. Эти понятия приблизительно соответствуют нашим переменным, функциям и их производным. Если х и у — флюэнты, то их флюксии ученый обозначил как х' и у'. Флюксия флюксии, то есть вторая производная, обозначена x" и y" и так далее. Ньютон также определил момент флюэнты, который обозначил о, как очень маленькое изменение переменной, бесконечно малый интервал изменений.