Лейбниц. Анализ бесконечно малых - Jose Munoz Santonja Страница 21

А = е -е² + е • (2е)² + е • (Зе)² + ... + е- (ne)² =

= е³ + 4е³ + 9е³ +... + n² • е³ = е³-( 1 + 4 + 9 +... + n²).

Сумма членов ряда квадратов уже нам известна и равна:

n³/3+n²/2+n/6,

и если обозначить через а сумму п значений ширины прямоугольников, то есть a = ne, то:

e = a/n,

и предыдущее выражение превращается в:

A = (a/n)³(n³/3+n²/2+n/6) = a³(n³/3n³+n²/2n³+n/6n³) = a³(1/3+1/2n+1/6n²).

Поскольку предполагается, что n — достаточно большое число для оптимального приближения, дробями с n в знаменателе можно пренебречь, ведь значение этих дробей приближается к нулю, и получается, что площадь под параболой равна:

a³/3.

ГИГАНТЫ

Были и другие математики, которые настолько близко подошли к определению анализа бесконечно малых, что как бы расстелили ковровую дорожку, по которой Ньютон и Лейбниц вошли в историю. Английский математик Джон Уоллис, королевский криптограф, представил в 1656 году свою главную работу "Арифметика бесконечного", в которой на основе работ Декарта и Кавальери изложил свой метод работы с бесконечно малыми. Уоллис вычислил квадратуру гипербол, то есть кривых, уравнения которых имеют вид:

1/x^r

где r не равно 1.

В своем методе он пользовался скорее алгебраической базой, чем геометрической, как частично делали Ферма и Роберваль. Чтобы найти площадь, замыкаемую кривой у = х³, Уоллис использовал отношение между треугольниками и квадратами с одинаковой длиной основания. В них он провел неделимые линии, которые их образовывают, и сложил кубы их длин, поскольку мы работаем с х³. Если есть только две линии, в треугольнике мы получаем длины со значениями 0 и 1, в то время как в квадрате обе линии равны 1. Получается следующее отношение:

(0³+1³)/(1³+1³) = 1/2 = 1/4+1/4.

Если взять три линии, то длины линий, находящихся в треугольнике, будут равны 0, 1 и 2, в то время как в квадрате во всех трех случаях они будут равны 2. Если взять четыре линии (см. рисунок), то в треугольнике измерения равны 0, 1, 2 и 3, в то время как в квадрате все линии имеют размер 3:

(0³+1³+2³)/(2³+2³+2³) = 9/24 = 6/24+3/24 = 1/4+1/8,

(0³+1³+2³+3³)/(3³+3³+3³+3³) = 36/108 = 27/108+9/108 = 1/4+1/12.

Как можно заметить, по мере увеличения числа линий результатом всегда является дробь 1/4 плюс каждый раз все меньшая дробь. При увеличении количества линий наступит момент, когда вторая дробь станет меньше любого заметного числа и, следовательно, практически равной нулю, так что площадь под кривой равна 1/4.

Метод Уоллиса для нахождения отношения между треугольником и квадратом в случае, когда имеется четыре линии.

Одним из самых серьезных ученых был англичанин Исаак Барроу (1630-1677), теолог и математик, преподаватель Ньютона на Лукасовской кафедре математики в Кембридже. На его трудах основывались Ньютон и Лейбниц.

Его главным вкладом в математику являются "Лекции по оптике и геометрии" (1669), в которых Барроу изложил свой анализ. Если бы не его чрезмерная увлеченность геометрическими методами, основателем математического анализа мог бы стать он сам. Обзор этой работы дает нам представление об элементах анализа: построение касательных, дифференцирование произведения и частного, дифференцирование степени, спрямление кривых, замена переменной в определенном интеграле и дифференцирование неявных функций. Барроу также осознавал, что вычисление квадратуры и дифференцирование были взаимно обратными операциями, о чем уже говорил шотландский ученый Джеймс Грегори, но тогда никто на это высказывание не обратил внимания. Барроу изложил свои идеи в геометрическом виде и только для некоторых функций.

ПРОБЛЕМЫ АНАЛИЗА

Один из наиболее связанных с математикой аспектов — это движение. Вспомним, что многие математики считали кривую точкой в движении. В связи с движением выделялось два вопроса: найти скорость и ускорение объекта, когда известно расстояние, которое он проходит в зависимости от времени, и обратная задача — найти скорость и пройденное расстояние, когда известно ускорение. Однако на самом деле основная задача состояла в том, чтобы выяснить, какова мгновенная скорость. Если мы проехали 90 км за один час, мы знаем, что средняя скорость этой поездки была 90 км/ч, но очень вероятно, что за этот час мы иногда набирали большую скорость, а иногда меньшую. Аналогично, если мы знаем скорость в определенный момент и время движения, мы также не можем знать пройденного расстояния, поскольку эта скорость постоянно меняется. Чтобы перейти от средней скорости к мгновенной, мы должны совершить переход к пределу, который был неизвестен в XVII веке.

Второй основной задачей было нахождение касательной к кривой. Практическое применение ее решения встречается непосредственно в оптике. В задачах с линзами важно знать угол, который образует луч с линзой, поскольку он будет таким же, как и угол преломления. Угол измеряется между лучом и перпендикуляром к касательной в точке падения луча. Также при криволинейном движении мгновенная скорость направлена по касательной к траектории. Можно представить себе очень простой эксперимент, чтобы проверить это: если привязать груз к веревке и быстро раскрутить его, то когда мы отпустим веревку, груз не будет продолжать вращаться, а переместится в направлении касательной к окружности, описываемой им ровно в тот момент, когда мы отпустили веревку.

Для древнегреческих ученых касательной к кривой была прямая, у которой была единственная общая точка с кривой и которая вся находилась с одной стороны от нее. Но в XVII веке ее определяли в терминах движения и сил.

МЕХАНИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ: ЦИКЛОИДА

Для греков кривые могли быть плоскими (их можно получить только с помощью линейки и циркуля), коническими (они получаются при сечении конуса) или линейными (не входят в предыдущие группы, для их построения нужен какой-нибудь механический метод). Декарт, говоривший, что использование линейки и циркуля — это также способ построения кривых, назвал геометрическими кривыми те, уравнение которых является полиномиальной функцией вида f (х, у) = 0, то есть многочленом для х и у. Например, это окружность, центр которой — точка О (a, b), а радиус г соответствует уравнению (х - a)² + (y - b)² = r² (рисунок 1). Остальные кривые Декарт назвал механическими. Это спирали, показательные и логарифмические функции или цепная линия, то есть кривая, форму которой принимает веревка, закрепленная с двух сторон, например кабели между двумя опорами линии электропередач. Без сомнения, главной механической кривой того времени была циклоида: кривая, описываемая точкой окружности, которая катится по полу, не проскальзывая (рисунок 2). Представим себе колесо велосипеда с приклеенной к шине жевательной резинкой: кривая, которую будет описывать резинка, когда мы приведем велосипед в движение, — это циклоида.