Лейбниц. Анализ бесконечно малых - Jose Munoz Santonja Страница 19

Древнегреческая алгебра добилась огромных успехов благодаря Диофанту. Его "Арифметика" состоит из серии задач с решениями и необходимыми разъяснениями. Это сочинение было написано для обучения алгебре. Здесь мы встречаем задачи, которые, кажется, взяты из современного учебника средней школы. Например: "Найти два числа, сумма которых равна 20, а произведение — 96". Способ, которым ее решает Диофант, если использовать нашу современную терминологию, выглядит следующим образом. Сумма равна 20, а произведение 96; пусть 2х есть разность между наибольшим и наименьшим числом; следовательно, оба числа равны 10 + х и 10 - х, а их произведение (10+х)(10-х) = 100 - х² = 96, х² = 4. Следовательно, х = 2, поскольку ученые Древней Греции не учитывали отрицательных решений. Искомые числа — 12 и 8.

К сожалению, большая часть наследия греческой культуры исчезла, уничтоженная христианами. Тысячи рукописей были сожжены, и большая часть научного знания пропала. В течение целого тысячелетия в геометрию не было привнесено ничего нового. Практически до 1600 года в этой области не происходило никакого развития.

В середине XVI века по Европе начали распространяться латинские переводы сохраненных арабскими учеными основных греческих текстов, которые были с энтузиазмом приняты математиками того времени. Началось тщательное изучение решений задач и доказательств, найденных древнегреческими учеными. Восхищение математиков XVI и XVII веков знаниями греков было бесспорным.

РАЗВИТИЕ АЛГЕБРЫ

Геометрия в течение тысячелетия стояла на месте, но алгебра немного развивалась, что сделало возможным создание математического анализа. Алгебра все еще была тесно связана с геометрией. Математик Мухаммад ибн Муса Аль-Хорезми (780- 850) работал в Багдаде. От его имени происходит слово алгоритм. Также благодаря ему появилось слово алгебра, поэтому многие авторы считают Аль-Хорезми отцом алгебры. Однако метод, которым он пользовался для решения своих уравнений, оставался в основном геометрическим.

Одним из наиболее известных ученых XVI века, внесших колоссальный вклад в развитие алгебры, был уже ранее упомянутый Франсуа Виет. Он активно работал над алгебраическими символами, пользуясь буквами для обозначения математических параметров: для неизвестных параметров он использовал гласные, а для всех прочих — согласные. В своих работах Виет давал сначала решение задачи в общем виде и только потом приводил числовой пример. Так он перешел от изучения частных проблем к развитию общих методов, что было очень важно для прогресса анализа бесконечно малых. Именно его работа обеспечила дорогу к появлению аналитической геометрии.

Символические величины, использованные Виетом, могут рассматриваться как длины отрезков или меры углов, а символические операции могут считаться, в свою очередь, геометрическими построениями. Следовательно, полученные решения могут относиться как к числовым, так и к геометрическим задачам.

ИЗМЕНЕНИЕ ПОДХОДА

В эпоху Возрождения искусство и литература получили значительное развитие, в то время как наука оказалась несколько подзабыта. Одним из создателей научного метода считается Фрэнсис Бэкон. В его сочинении, вдохновившем многие научные сообщества, "Новая Атлантида", правители были учеными, которые накапливали научные и технологические знания. Бэкон жаловался на то, что общество предпочитает гуманитарные и метафизические дисциплины, при этом пренебрегая работой ученого в лаборатории. А веком позже уже появилось большое количество работ с экспериментальными результатами.

Отношение к математике с середины XVI века радикально изменилось по сравнению с отношением к ней в Древней Греции. Появились новые задачи, происходящие из других наук и практических потребностей. Математика повернулась лицом к миру физики. Постепенно наука все больше основывалась на математических принципах, а математика все больше базировалась на других науках для своего дальнейшего развития.

Математики того времени были великими учеными и развивали свои знания во многих различных областях. Декарт говорил, что математика является наукой о порядке и мере и включает в себя, кроме алгебры и геометрии, астрономию, музыку, оптику и механику. Столпами механики Ньютона были сила и движение. Двумя главными моторами, двигавшими науку вперед, были астрономия и механика, развиваемые Галилеем и Кеплером. Например, конические сечения применяли к разным наукам: эллипсы — это траектории планет, а параболы — траектории снарядов.

Греческая строгость доказательства была оставлена в пользу эмпиризма. Для Галилея имели одинаковое значение как дедуктивная, так и экспериментальная части. В отличие от древнегреческих ученых он был больше заинтересован в получении новых результатов, чем в их безупречном обосновании. Время на строгую формулировку найдется и потом, поскольку самым важным является открытие само по себе. Убежденность в том, что полученные результаты затем можно доказать методами древнегреческих ученых, выражена в следующем высказывании Гюйгенса:

Гравюра Теобальда Фрайхера фон Ёра(1807- 1885), на которой изображен Лейбниц во время открытия Берлинской академии.

Гравюра, на которой изображено уничтожение Архимедом римских кораблей с помощью солнечных лучей.

Портрет Лейбница около 1700 года, работа Христофа Бернхарда Франке.

"Абсолютное доказательство не слишком интересно после того, как мы увидели, что может быть найдено идеальное доказательство. Признаю, что лучше бы оно было представлено в четком, искусном и элегантном виде, как во всех работах Архимеда. Но первое и самое главное — метод открытия сам по себе".

Но когда открытия излагались в эмпирической форме, без древнегреческой строгости, некоторые результаты не принимались другими учеными или вступали в противоречие с их данными. Еще одним важным аспектом было то, что проблемы нельзя ставить независимо друг от друга. Декарт утверждал, что схожие задачи должны решаться общим методом.

ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ

Основная идея аналитической геометрии основывается на декартовых координатах.

Любая точка на плоскости обозначается двумя числами, которые отражают ее положение.

Декартовы оси состоят из двух перпендикулярных прямых, пересекающихся в одной точке — начале координат. Если нанести деления на прямые, каждой точке будут соответствовать два числовых значения, отмеряемых на обеих осях. Первое отмечается на горизонтальной оси, называемой осью абсцисс, а второе — на вертикальной оси, называемой осью ординат. Точка записывается как Р (х, у), где х — абсцисса, а у — ордината.