История математики - Ричард Манкевич Страница 7

Греки вошли в историю как захватчики с севера, обосновавшиеся на землях, что лежали между Ионийским и Эгейским морями. Они выказали жадность к знаниям и стремление учиться у своих более древних соседей, а также — что еще важнее — желание увеличивать мудрость, полученную от египтян и жителей Месопотамии. Греческий, или эллинский, мир объединяли скорее культурные, чем расовые узы. Его историю можно разделить на два обширных периода; переход от одного к другому ознаменовался началом царствования Александра Великого. Для наших целей назовем эти периоды афинским и александрийским.

Первые Олимпийские игры проводились в 776 году до нашей эры. К этому времени греческая литература могла похвастаться произведениями Гомера и Гесиода, но о математиках, творивших ранее VI века до нашей эры, мы ничего не знаем. Титул первого греческого математика, по-видимому, следует присудить Фалесу Милетскому (640/624–548/545 до н. э.) — предполагается, что именно он привел первые описания различных геометрических теорем, ставших прообразом великой дедуктивной системы Евклида. Но наши знания о греческой математике и вообще об этом периоде основываются по большей части на исторических слухах. Мало того что сочинения того времени до нас не дошли, мы вынуждены полагаться на комментарии, сделанные спустя тысячу лет после описываемых в них событий.

В IV веке до нашей эры, после основания Академии Платона, а позже Лицея его бывшего ученика, Аристотеля, Афины стали считаться центром средиземноморского интеллектуального мира. Роль Платона в истории математики — все еще тема жарких дебатов. От него не осталось никаких собственноручно написанных формальных математических сочинений, но он оказал сильное влияние на философию математики. В своем диалоге «Республика» он утверждал, что математика должна быть одной из основных наук, изучаемых будущими правителями, а в диалоге «Тимей» мы видим своего рода преобразованное пифагорейство плюс Платоновы тела, связанные с четырьмя стихиями, и додекаэдр как символ цельной Вселенной. Влияние философии Аристотеля было для математики не особенно полезным. То, что он требовал логики, имело положительный эффект, но отказ принять бесконечность и бесконечно малые величины, а также вера в то, что совершенное движение происходит по окружности и прямым линиям, поскольку это идеальные фигуры, пользы не принесли.

Академия и Лицей были и важными центрами математического образования и исследований. Аристотель был наставником Александра Великого, управлявшего империей, которая в период расцвета простиралась аж до Северной Индии. После смерти Александра обширное государство между собой поделили его враждовавшие друг с другом генералы. Но в одном из осколков огромной империи во времена просвещенного правления Птолемея I возник научный центр — новый город, Александрия, с ее Музеем и драгоценной Библиотекой. Во второй период классической эпохи Древней Греции, известный как Золотой век греческой математики, Александрия в значительной степени затмила Афины.

Самый выдающийся труд в греческой математике — это, несомненно, «Начала» Евклида (ок. 325–265 до н. э.). Несмотря на такую известность, о жизни математика известно очень немногое. Неясным остается даже место его рождения. Из текста более позднего комментатора Прокла Диадоха известно, что Евклид учился в Александрии во времена правления Птолемея. Когда царь спросил, как побыстрее изучить геометрию, Евклид ответил, что «не существует царского пути к геометрии». Известность «Начал» порой затмевала тот факт, что Евклид написал множество других работ, посвященных оптике, астрономии, механике и музыке. Но «Начала» стали стандартным учебником по геометрии, изучавшимся в течение многих последующих столетий. Он был настолько полным, что все предшествовавшие книги оказались избыточными, и их копий не сохранилось. Как и в случае многих других учебников, большая часть «Начал» — не оригинальная работа Евклида, но именно его мы должны благодарить за сведение результатов множества других источников и написание стройного труда, который стал общепринятой моделью логической, дедуктивной системы теорем и доказательств. «Начала» — это не краткое изложение всей греческой математики, в сочинении описаны только основы. В него не включены вычисления и многие более сложные математические задачи, такие, как конические сечения.

«Начала» состоят из 13 книг. В них охвачены вопросы планиметрии и стереометрии, теория чисел и теория непропорциональности. Книга начинается со списка, состоящего из 23 определений, например «точка — это то, что не делится на части», «линия — это длина без ширины». Затем следует пять аксиом и пять «общих понятий». У печально известного пятого постулата своя история. Фактически, каждый раздел книги открывается дальнейшими определениями, необходимыми для новых тем, которые рассматриваются в той или иной главе. Для Евклида определения были более очевидны, чем постулаты, хотя мы рассматриваем их одинаково — как аксиомы. Постулаты обычно описывают некое действие, например «от всякой точки ко всякой точке можно провести прямую», тогда как четвертое определение утверждает: «прямая линия есть та, которая ровно лежит на всех своих точках». В целом геометрия здесь сводится до методов построений с применением линейки и циркуля. Эти два простых инструмента послужили логическими генераторами целой системы. Круг и прямая считались самыми совершенными фигурами. Греки использовали и другие, так называемые «механические» методы построений, но в «Началах» они не описываются.