Вселенная. Курс выживания среди черных дыр, временных парадоксов, квантовой неопределенности - Джефф Бломквист Страница 64

RM^⅓ = (3,5 × 10¹⁷ кг^⅓ м) × (Z / A)^5/3,

что равняется 1,1 × 1017 кг1/3 м для ядер, состоящих из чистого гелия, углерода или кислорода (где Z / A = ½). Для железных ядер Z / A = 26/56, так что 1,1 сводится почти к 1,0. Мы пролистали справочную литературу и собрали данные о массах и радиусах 16 белых карликов, расположенных в Млечном Пути, ближайшей к нам галактике. Для каждой такой звезды мы вычислили значение RM^⅓, и результаты астрономических наблюдений показали, что оно приблизительно равно 0,9 × 10¹⁷ кг^⅓ м. Соответствие между наблюдениями и теоретическими выкладками просто поразительное: с помощью принципа Паули, принципа неопределенности Гейзенберга и закона притяжения Ньютона мы сумели предсказать зависимость между массой и радиусом для белых карликов.

Разумеется, в числах есть некая приблизительность (например, теория дает 1,1 или 1,0, а результат наблюдений – 0,9). Будь у нас настоящий научный анализ, мы бы начали сейчас говорить, насколько вероятно полное соответствие теории эксперименту, но для наших целей такой аналитический уровень не столь необходим, потому что соответствие и так удивительно неплохое. Просто фантастика, что мы сумели подсчитать все это с погрешностью примерно 10 %, и это убедительное доказательство нашего приличного понимания квантовой механики и звезд.

Профессиональные физики и астрономы на этом бы не остановились. Они бы решили проверить теоретическое понимание в мельчайших подробностях, для чего следовало бы улучшить наше описание в эпилоге. В частности, уточненный анализ принял бы во внимание, что температура звезды все же играет некоторую роль в ее структуре. Более того, электроны роятся вокруг положительно заряженных атомных ядер, а в наших расчетах мы полностью пренебрегли взаимодействиями между электронами и ядрами (а заодно и между самими электронами). Мы не стали их учитывать, потому что сразу же заявили: они внесут лишь незначительные коррективы в простое решение. Это заявление было подтверждено более подробными расчетами, и вот почему наше упрощенное решение так хорошо соотносится с данными.

Очевидно, что мы узнали уже очень много нового: установили, что давление электронов способно поддерживать существование белого карлика, и сумели с определенной точностью предсказать, как меняется радиус звезды с прибавлением или снижением ее массы. Заметьте, что, в отличие от «обычных» звезд, интенсивно жгущих горючее, белые карлики парадоксальным образом уменьшаются с прибавлением массы. Это потому, что добавленная масса идет на увеличение гравитации звезды, заставляя ее сжиматься. На первый взгляд отношения, выраженные в уравнении (5), предполагают, что необходимо добавить бесконечное количество массы, прежде чем звезда сожмется до нулевого размера. Однако этого не происходит. Важно, как мы говорили в самом начале эпилога, что мы постепенно переходим в то состояние, когда электроны размещаются очень плотно, и первостепенную важность обретает специальная теория относительности Эйнштейна, потому что скорость электронов приближается к скорости света. В результате мы должны отказаться в расчетах от законов движения Ньютона, заменив их законами Эйнштейна. В этом-то все и дело.

Мы сейчас обнаружим, что при росте массивности звезды давление, оказываемое электронами, перестает быть пропорциональным плотности, возведенной в степень 5/3; с какого-то момента давление начинает возрастать медленнее, чем плотность. Расчеты мы проведем, но пока можно отметить, что это грозит катастрофическими последствиями для звезды. Дело в том, что при прибавлении массы обычное увеличение гравитации будет сопровождаться меньшим увеличением давления. Судьба звезды зависит от того, насколько меньшим будет это увеличение давления по сравнению с увеличением плотности, если электроны движутся быстро. Итак, настало время выяснить, каким будет давление «релятивистского» газа.

К счастью, нам не нужно выкатывать на сцену громоздкие механизмы теории Эйнштейна, потому что расчет давления в газе, который состоит из электронов, движущихся со скоростью, близкой к световой, производится почти по тем же лекалам, что и для газа, состоящего из «медленных» электронов. Ключевая разница в том, что мы не можем более опираться на уравнение p = mv, так как это становится некорректным. Однако по-прежнему верно, что сила, с которой действуют электроны, равна изменению их импульса. Ранее мы вывели, что флот электронов, отражающихся от зеркала, оказывает давление P = 2mv × (nv). Для релятивистского случая можно записать то же выражение, заменив mv импульсом p. Мы также полагаем, что скорость электронов близка к скорости света, так что заменяем v на c. Наконец, чтобы получить давление в звезде, нужно не забывать о делении на 6. Итак, мы можем записать давление для релятивистского газа как P = 2p × nc / 6 = pnc / 3.