Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус Дю Сотой Страница 41

– Мы создали такую карту нашей страны, масштаб которой равняется миля на милю!

– И часто вы ею пользуетесь? – спросил я.

– Ее еще ни разу не расстилали. Крестьяне были недовольны. Они сказали, что, если такую карту расстелить на всю страну, она скроет солнечный свет! Так что пока мы используем саму страну как ее карту, и смело могу вас заверить, действует она преотлично ^[71].

В этом шутливом диалоге Кэрролл показывает, что при создании карт приходится выбирать, чего именно в них включать не следует.

Некоторые из самых первых карт, созданных людьми, были картами не Земли, а неба. В пещере Ласко на юго-западе Франции есть изображение Плеяд – звезд, которые часто использовались в качестве знака начала нового годового цикла. Одна из первых карт Земли – это глиняная табличка, созданная каким-то вавилонским писцом, возможно, еще за 2500 лет до нашей эры. На ней изображена речная долина между двумя холмами. Холмы обозначены полукружьями, реки – линиями, города – кружками. Кроме того, на карте указано, как ее следует ориентировать.

Вавилоняне же первыми предприняли попытку создать карту всего мира; это было за 600 лет до нашей эры. Эта карта – изображение скорее символическое, чем буквальное. На ней представлена округлая суша, окруженная водой, что соответствовало представлению вавилонян о конфигурации мира.

Но, когда было установлено, что Земля имеет форму не плоскую, а сферическую, создание двумерных карт сферической поверхности стало для картографов интересной, но трудной задачей. Принято считать, что хитроумное решение этой задачи нашел фламандский картограф XVI века Герард Меркатор.

Поскольку дело было в эпоху морских экспедиций, исследовавших нашу планету, главной целью Меркатора было создать карту, которая поможет мореплавателям попадать из одной точки планеты в другую. Главным навигационным прибором был компас. Самым простым способом добраться из точки А в точку Б было выбрать такое постоянное направление по компасу, чтобы корабль, следующий в этом направлении, приходил в нужную точку.

Такие линии наклонены под постоянным углом к меридианам, проходящим с севера на юг. Они называются локсодромами ^[72]; если такую линию начертить на глобусе, можно увидеть, что она образует спираль, сходящуюся к Северному полюсу ^[73].

Это не самый короткий путь из А в Б, но тем, кого больше беспокоит опасность сбиться с курса, такой путь подходит лучше всего.

Карта Меркатора обладает тем чудесным свойством, что эти криволинейные маршруты превращаются на ней в прямые линии. Если вам нужно найти правильный угол для курса из точки А в точку Б, достаточно провести прямую между этими двумя точками на карте Меркатора, и угол, под которым она будет наклонена к меридианам, идущим на север, будет тем углом, курс на который вам нужно держать при переходе через океан.

Рис. 5.5. Локсодрома идет под постоянным углом к меридианам

Такая проекция сферы на прямоугольник называется конформным отображением, потому что она сохраняет углы. Добиться этого можно следующим образом. Представим себе, что Земля – это воздушный шарик, вся поверхность которого покрыта невысохшими чернилами. Обернем вокруг Земли цилиндр так, чтобы он прикасался к экватору. Теперь начнем надувать Землю так, чтобы по мере раздувания шарика ее поверхность постепенно приходила в соприкосновение с цилиндром, а чернила отпечатывали на нем карту.

Развернем цилиндр – и у нас получится карта. Таким способом невозможно изобразить на карте полюса, так что на верхнем крае карты оказывается параллель, близкая к полюсу ^[74]. Такая карта все сильнее растягивает параллели по мере продвижения на север или на юг от экватора. Для тех, кто был в море, она была великолепным инструментом, к чему, видимо, и стремился Меркатор, ибо он дал своей карте следующее название: «Новое и более полное описание земного шара, должным образом приспособленное для использования в навигации» (Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendate Accommodata, 1569).

Хотя на этой карте сохраняются углы между линиями, проведенными на глобусе, этого не происходит с площадями и расстояниями. И это обстоятельство имело очень важные политические последствия. Карта была настолько полезна, что в течение столетий она оставалась общепризнанным представлением о том, как выглядит наша планета. Но на ней чрезвычайно сильно преувеличено место, которое занимают страны, удаленные от экватора, – к примеру, Нидерланды и Великобритания. Например, если начертить круг на экваторе и другой круг такого же размера в Гренландии, в проекции Меркатора площадь второго круга увеличится в десять раз. Скажем, Африка на карте имеет те же размеры, что и Гренландия, хотя на самом деле она в 14 раз больше по площади.

Карта Меркатора противоречила политическим соображениям постколониальной эпохи, и вместо нее ЮНЕСКО приняло в качестве официальной альтернативную проекцию, которая называется проекцией Галла – Петерса. Эту карту широко используют в британских школах, но в школах Соединенных Штатов – в Бостонском школьном округе – она заменила карту Меркатора лишь в 2017 году. Многие другие американские школьные округа так и не последовали этому примеру. Многим гражданам Соединенных Штатов кажется, что уменьшение размеров США не согласуется с тем местом, которое их страна занимает на мировой арене.

По правде говоря, в любой карте неизбежны компромиссы. Собственно говоря, это обстоятельство открыл Гаусс, когда исследовал природу кривизны разных геометрий. Он назвал свое открытие «Theorema Egregium», то есть «Замечательной теоремой»: в ней он доказал, что плоской картой невозможно обернуть сферический глобус без искажения расстояний. На любой карте планеты приходится жертвовать чем-нибудь. Карта Галла – Петерса точно отражает площади, но не формы стран. Длина Африки получается вдвое большей ее ширины, тогда как на самом деле форма этого континента ближе к квадратной.

Разумеется, на большинстве карт Северное полушарие всегда находится вверху, а Южное – внизу. Но сферы симметричны, так что нет никаких причин, по которым карта не может быть ориентирована наоборот. Выбор ориентации опять-таки отражает то обстоятельство, что карты составляли обитатели Северного полушария.