Битва при черной дыре. Мое сражение со Стивеном Хокингом за мир, безопасный для квантовой механики - Леонард Сасскинд Страница 3

В этой книге вы встретите множество очень больших и очень малых чисел. Человеческий мозг не приспособлен визуализировать числа много больше 100 и много меньше 1/100, хотя свои способности в этом деле можно развить. Например, я, постоянно имея дело с числами, могу более или менее наглядно представить себе миллион, однако разница между триллионом и квадриллионом выходит за пределы моих способностей к визуализации. Многие числа в этой книге намного больше триллионов и квадриллионов. Как с ними обращаться? Ответ основан на одной из важнейших перепрошивок всех времен — изобретении экспоненциальной, или научной, нотации для записи чисел.

Начнем с очень большого числа. Население Земли составляет около 6 миллиардов человек ^[9]. Миллиард — это 10, умноженное само на себя девять раз. Его можно представить, приписав к единице девять нулей:

Один миллиард = 10х10х10х10х10х10х10х10х10 = 1000 000 000.

В сокращенной форме 10, помноженное на себя девять раз, записывается как 10⁹, или десять в девятой степени. Таким образом, население Земли — это примерно:

6 миллиардов = 6 X 10⁹.

В данном случае 9 является показателем или порядком величины.

А вот другое, куда большее число — общее количество протонов и нейтронов в составе Земли:

число протонов и нейтронов в Земле (примерно) = 5 X 10⁵¹.

Очевидно, что их значительно больше, чем людей. Но насколько больше? Десять в пятьдесят первой степени — это результат перемножения пятидесяти одной десятки, а миллиард — только девяти. Так что у 10⁵¹ на 42 таких сомножителя больше, чем у 10⁹. Это значит, что ядерных частиц на Земле примерно в 10⁴² раз больше, чем людей. (Заметьте, что я проигнорировал множители 5 и 6 в приведенных формулах. Они не слишком отличаются друг от друга, так что, если нам достаточно «оценки по порядку величины», ими можно просто пренебречь.)

Возьмем два действительно больших числа. Общее число электронов в той области Вселенной, которую можно наблюдать с помощью самых мощных телескопов, составляет около 10⁸⁰. Общее число фотонов ^[10] — около 10⁹⁰. Может показаться, что 10⁹⁰ не намного больше, чем 10⁸⁰, но это обманчивое впечатление: 10⁹⁰ в 10¹⁰ раз больше, чем 10⁸⁰, а 10 000 000 000 — это очень большое число. Внешне кажется, что 10⁸⁰ и 10⁸¹ — это почти одно и то же, между тем второе число в десять раз больше первого. Так что даже небольшое изменение порядка величины может означать огромное изменение записанного числа.

Теперь рассмотрим очень маленькие числа. Размер атома, например, составляет примерно десятимиллиардную долю метра. В десятичной записи: размер атома = 0,0000000001 м.

Обратите внимание, что единица стоит на десятой позиции после запятой. В научной нотации для одной десятимиллиардной используется отрицательный показатель степени, а именно -10: 0,0000000001 = 10¹⁰.

Числа с отрицательным порядком величины малы, а с положительным — велики.

Обратимся к другому числу, еще меньшей величины. По сравнению с обычными объектами элементарные частицы, подобные электрону, — очень легкие. Килограмм — это масса литра воды. Масса электрона многократно меньше. В действительности один электрон весит примерно 9 х 10^-31 килограмма.

В научной нотации очень упрощается умножение и деление чисел. Все, что для этого нужно, — это складывать и вычитать показатели. Вот несколько примеров:

10⁵¹ = 10⁴² х 10⁹

10⁸¹/10⁸⁰=10

10^-31 х 10⁹= 10^-22.

Показатели степени — не единственное сокращение, которое люди используют для описания очень больших чисел. Некоторые такие числа носят собственные имена. Например, гугол — это 10¹⁰⁰ (единица, за которой следует 100 нулей), а гуголплекс — это 1^гугол (1, за которой идет гугол нулей) — это ужасно большое число.

Познакомившись с этими основами, давайте вернемся в не столь абстрактный мир, скажем, в Сан-Франциско, в третий год первого президентского срока Рональда Рейгана, — холодная война в самом разгаре, а новая война еще только начинается.