Симпсоны и их математические секреты - Саймон Сингх Страница 25

Перед тем как Табита во всеуслышание признается в любви к Баку на экране Jumbo-Vision, на нем отображается вопрос с несколькими вариантами ответа, предлагающий зрителям догадаться, сколько людей присутствует на стадионе. В предварительном сценарии числа в них были взяты наугад, однако теперь сценаристы решили заменить их числами с особенно интересными свойствами. Когда они справились с задачей, Джефф Уэстбрук написал Саре Гринволд электронное письмо, в котором было сказано следующее: «Просто замечательно, что вы у нас побывали, поскольку это слегка подстегнуло нас, и мы решили включить в эпизод несколько более интересных математических чисел в честь вашего визита».

Изображение на экране Jumbo-Vision из эпизода «Мардж и Гомер спасают чужой брак»

Три особых числа, появившиеся на экране Jumbo-Vision, случайному зрителю показались бы произвольно выбранными и ничем не примечательными, но зрители с математическим складом ума сразу бы поняли, что каждое из них замечательно по-своему.

Первое число 8191 – простое число. В действительности оно относится к особому классу простых чисел, известному как числа Мерсенна. Этот класс назван в честь Марена Мерсенна, который в 1611 году стал членом ордена минимов в Париже и с тех пор делил свое время между молитвами Богу и поклонением математике. Мерсенн проявлял особый интерес к набору чисел вида 2^p − 1, где p – любое простое число. В приведенной ниже таблице показано, что произойдет, если подставить все простые числа меньше 20 в формулу 2^p −1.

Поразительное свойство этой таблицы состоит в том, что формула 2^p − 1, похоже, генерирует числа, которые могут быть простыми. На самом деле все числа в правом столбце простые, за исключением числа 2047, поскольку 2047 = 23 × 89. Другими словами, формула 2^p − 1 – это рецепт, использующий в качестве ингредиентов простые числа для образования новых простых чисел. Например, если p = 13, тогда 2¹³ − 1 = 8191, а это и есть простое число Мерсенна, присутствующее в эпизоде «Мардж и Гомер спасают чужой брак».

Числа Мерсенна считаются звездами в мире чисел, так как могут быть очень большими. Некоторые из них относятся к категории титанических простых чисел (имеют более тысячи знаков), некоторые – гигантских простых чисел (более десяти тысяч знаков), а самые большие называют мегапростыми числами (более одного миллиона знаков). Десять наиболее больших известных простых чисел Мерсенна – это самые большие простые числа из когда-либо найденных. Самое большое число Мерсенна (2^57885161 − 1), которое было открыто в январе 2013 года, имеет свыше семнадцати миллионов знаков ^[33].

Второе число на экране стадиона, 8128, известно как совершенное число. Совершенство в контексте числа зависит от его делителей, а именно тех чисел, на которые оно делится без остатка. Например, делители числа 10 – 1, 2, 5 и 10. Число считается совершенным, если оно равно сумме своих делителей, отличных от самого числа. Самое маленькое совершенное число – 6, поскольку 1, 2 и 3 – это его делители, а 1 + 2 + 3 = 6. Второе совершенное число – 28, потому что его делители – 1, 2, 4, 7 и 14, а 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Третье совершенное число – 496, а четвертое – 8128: именно то число, которое появляется в эпизоде «Мардж и Гомер спасают чужой брак».

Об этих четырех совершенных числах знали еще древние греки, однако математикам пришлось больше тысячелетия ждать открытия трех следующих совершенных чисел: 33 550 336 было обнаружено примерно в 1460 году, а затем, в 1588-м, было объявлено об открытии чисел 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Как сказал французский математик XVII столетия Рене Декарт, «совершенные числа, как и совершенные люди, встречаются крайне редко».

Исходя из того, что совершенных чисел очень мало, легко сделать поспешный вывод о существовании их конечного количества. Но тем не менее математики до сих пор не смогли это доказать. Кроме того, все известные совершенные числа четные, поэтому велика вероятность, что и те совершенные числа, которые будут когда-то найдены, также окажутся четными. Но и это пока никто не доказал.

Несмотря на эти пробелы в знаниях, нам все же кое-что известно о совершенных числах. Например то, что четные совершенные числа (а ими могут оказаться все числа такого рода) – это также треугольные числа:

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

Кроме того, мы знаем, что четные совершенные числа (за исключением числа 6) всегда представляют собой сумму нескольких следующих подряд нечетных чисел, возведенных в третью степень: