Голая статистика. Самая интересная книга о самой скучной науке - Чарльз Уилан Страница 18

А теперь давайте посмотрим, как эти манипуляции осуществляются на практике. Рассмотрим снижение налогов, рекламируемое администрацией экс-президента Джорджа Буша как благо для большинства американских семей. Продвигая этот план, администрация Буша указывала, что для 92 миллионов американцев налоги в среднем уменьшатся на 1000 долларов (если быть более точным, то на 1083 доллара). Но является ли такая величина точной? Согласно The New York Times, «Эти данные не лгут, просто кое о чем умалчивают».

Снизилось бы налоговое бремя для 92 миллионов американцев? Да.

Уменьшились бы налоги для большинства из них примерно на 1000 долларов? Нет. Снижение налога, подсчитанное как медиана, оказалось бы меньше 100 долларов.

Сокращение налогов для относительно малого числа очень богатых людей оказалось бы очень существенным; именно эти большие числа искажают среднее значение, создавая иллюзию значительного снижения налогового бремени. В действительности величина такого снижения для большинства американцев оказалась бы гораздо меньшей. Медиана нечувствительна к наблюдениям-«отщепенцам» и в данном случае стала бы более точным описанием того, как планируемые налоговые послабления сказались бы на типичной американской семье.

Разумеется, медиана также способна вводить в заблуждение – именно потому, что нечувствительна к наблюдениям-«отщепенцам». Допустим, у вас обнаружили смертельную болезнь. Утешением для вас служит тот факт, что недавно появилось новое лекарство, излечивающее это заболевание. Плохо лишь то, что оно чрезвычайно дорогое и, кроме того, имеет множество опасных побочных эффектов. «Но поможет ли мне это лекарство?» – спрашиваете вы у врача. И он сообщает вам, что оно повышает медианную ожидаемую продолжительность жизни на… две недели. Подобная новость вряд ли добавит вам оптимизма (учитывая расходы на покупку лекарства и возможные побочные эффекты). К тому же ваша страховая компания отказывается оплачивать лечение по причине очень незначительного повышения медианной ожидаемой продолжительности жизни людей, страдающих вашим заболеванием.

Однако медиана вполне может оказаться весьма обманчивой статистикой в данном случае. Допустим, новое лекарство не помогает многим пациентам, однако немалое их число, скажем 30 или 40 %, излечивается полностью. Этот процент успеха никак не сказывается на медиане (хотя средняя ожидаемая продолжительность жизни людей, принимающих новое лекарство, выглядела бы весьма впечатляюще). В этом случае наблюдения-«отщепенцы» – те, кому помогло новое лекарство, – должны сыграть важную роль в принятии вами окончательного решения. И это не просто некая гипотетическая ситуация. У Стефена Гоулда – ученого-биолога, занимающегося проблемами эволюции – была диагностирована форма рака, при которой медианная ожидаемая продолжительность жизни составляла восемь месяцев; спустя двадцать лет он умер от другого вида ракового заболевания, никак не связанного с предыдущим ^{14}. Гоулд впоследствии написал знаменитую статью под названием The Median Isn’t the Message («Медиана – это не приговор»), в которой утверждал, что именно его научные познания в области статистики уберегли его от ошибочного заключения, будто он непременно умрет через восемь месяцев. Определение медианы говорит нам, что половина пациентов проживет по меньшей мере восемь месяцев – и, возможно, гораздо дольше этого срока. Распределение смертности «скошено вправо», а это – нечто гораздо большее, чем просто техническая подробность, когда речь идет о смертельной болезни ^{15}.

В данном примере определяющая характеристика медианы – то есть то, что она не присваивает наблюдениям весовые коэффициенты исходя из того, насколько они отдалены от средней точки, а лишь оценивает их в зависимости от того, где (выше или ниже) они расположены, – оказывается ее слабым местом. В отличие от медианы среднее значение зависит от разброса наблюдений. С точки зрения точности, ответ на вопрос «медиана или среднее значение» будет обусловлен тем, какое влияние оказывают наблюдения-«отщепенцы» в рассматриваемом нами распределении на описываемое явление: искажают его или, напротив, играют важную роль в уяснении нами его сути. (И снова здравое суждение берет верх над «голой» математикой.) Разумеется, ничто не скажет вам наверняка, чему именно следует отдать предпочтение – медиане или среднему значению. В любом комплексном статистическом анализе, скорее всего, будут задействованы оба показателя. Когда вы встречаете ссылку лишь на медиану или среднее значение, это наверняка было сделано из соображений краткости, хотя может указывать и на то, что кому-то очень хочется с помощью статистики «убедить» вас в чем-то.

Те из вас, кто достиг определенного возраста, возможно, помнят приведенный ниже обмен репликами между персонажами фильма Caddyshack, в роли которых выступают Чеви Чейз и Тед Найт. Эти двое встречаются в раздевалке после игры в гольф.