Апология математики - Владимир Успенский Страница 15

Только что приведённые соображения можно использовать для доказательства счётности множества алгебраических чисел и, следовательно, для доказательства существования трансцендентных чисел. Известно, что для всякого алгебраического уравнения множество его действительных корней, то есть таких действительных чисел, которые служат корнями этого уравнения, всегда конечно (оно может быть, в частности, и пустым). Расположим это множество в порядке возрастания, тогда каждый корень получит свой порядковый номер в этом расположении. Именем данного алгебраического числа объявим запись, состоящую из записи любого алгебраического уравнения, корнем которого данное число является (таких уравнений всегда много!), и записи порядкового номера этого корня среди всех корней этого уравнения. Общее количество всех введённых таким способом имён счётно. Отсюда легко выводятся два факта. Во-первых, оказывается счётным количество чисел, получивших имя, — а это как раз и есть алгебраические числа. Во-вторых, многие действительные числа не получат никакого имени — это и будут трансцендентные числа.

Возникает естественный вопрос, а бывают ли мощности, промежуточные между мощностями счётной и континуальной. Иначе говоря, вопрос состоит в том, какое из двух альтернативных утверждений справедливо:

(1) по количеству элементов континуум действительных чисел идёт сразу вслед за натуральным рядом или же

(2) в указанном континууме можно выделить промежуточное множество, то есть такую бесконечную часть, которая не равномощна ни всему континууму, ни натуральному ряду.

Гипотезу, что справедливо первое из этих утверждений, называют гипотезой континуума или континуум-гипотезой, а требование доказать или опровергнуть эту гипотезу — проблемой континуума. В 1877 году Кантор объявил, что континуум-гипотеза представляет собою математическую истину, и с 1879 года начал отдельными порциями публиковать трактат, имеющий целью эту истину доказать. Статья с шестой порцией была завершена 15 ноября 1883 года. Она содержала доказательство того факта, что промежуточное множество заведомо отсутствует в определённом классе множеств (а именно в классе замкнутых множеств), а также обещание в последующих статьях доказать, что такого множества вообще не существует, — то есть доказать гипотезу в её полном объёме. Однако обещанных последующих статей не последовало. Кантор осознал, что он не может доказать континуум-гипотезу, и в мае 1884 года у него случился первый приступ нервной болезни. В середине XX века было установлено, что ни доказать, ни опровергнуть континуум-гипотезу невозможно. Здесь мы остановимся из страха повторить судьбу Кантора.

На языке лингвистики то, чем мы занимались в этой главе, есть семантика количественных числительных. При этом выяснилось, что привычный бесконечный ряд «конечных» числительных: один, два, три,…, сорок восемь,…, две тысячи семь,… — может быть дополнен «бесконечным» числительным алеф-ноль —

Но ведь бывают и числительные порядковые: первый, второй, третий и т. д. Вкратце поговорим и о них. Как количественное числительное есть словесное выражение (имя) количественного числа (оно же кардинальное число, оно же мощность), так порядковое числительное есть словесное выражение (имя) порядкового числа. Чтобы отличать порядковые числа от количественных, будем обозначать их — в конечном случае (а про бесконечный мы пока ничего не знаем) — римскими цифрами, как это и принято в русской орфографии. Ведь мы пишем «Генрих VIII», а не «Генрих 8». Порядковое число — это особая сущность, для которой сейчас будет предложено не определение (что перегрузило бы изложение), а ассоциативная иллюстрация. С этой целью обращусь к своим детским ощущениям — ещё более ранним, чем кошмар, упомянутый в самом начале данной главы. В свои студенческие годы я с изумлением узнал, что эти ощущения испытал не только я.

Итак, раннее детство. Я размышляю, какой я плохой. Но тут же приходит в голову мысль, что раз я это понял, значит, я хороший. Но если я считаю себя хорошим, то, значит, я плохой. Но тогда я хороший — и так далее. Какую замечательную бесконечную лестницу я выстроил, хвалю я себя. Какой я плохой, что себя хвалю. И так далее. Здесь иллюстрация понятия порядкового числа. В самом деле, естественно называть ступени возникшей лестницы словами «первая», «вторая», «третья» и так далее. А можно сказать и так: со ступенями соотносятся порядковые числа I («я плохой»), II («я хороший, потому что осознал, что плохой»), III («я плохой, потому что себя похвалил») и так далее. С лестницей же в целом («я хороший, потому что смог увидеть всю лестницу») соотносится некоторое новое, бесконечное порядковое число (омега). Далее следуют + I («я плохой, потому что себя похвалил»), + II, + III и так далее. А потом, за ними всеми, + ω. Здесь мы остановимся, однако читатель волен продолжить это ряд и далее. Начиная с ω идут бесконечные порядковые числа. Их именами служат выражения «омега», «омега плюс один», «омега плюс два», «омега плюс три» и так далее. С семантической точки зрения эти выражения представляют собою порядковые числительные. С синтаксической точки зрения порядковые числительные должны быть похожи на прилагательные, и потому следовало бы говорить «омеговый», «омега плюс первый» и так далее; но так почему-то не говорят.

Читатель, желающий проверить себя на понимание бесконечных порядковых чисел (а автора — на способность понятно изложить), благоволит выполнить такое упражнение. Возьмите множество, состоящее из числа 3, числа 2, всех чисел 0, ¹/₂, ²/₃, ³/₄, ⁴/₅ и так далее и всех чисел 1, 1¹/₂, 1²/₃, 1³/₄, 1⁴/₅ и так далее. Занумеруйте элементы этого множества, в порядке их возрастания, порядковыми числами. Какие номера они получат? Ответ: первым, наименьшим элементом является здесь 0 и он получит номер I, элемент ¹/₂ получит номер II, элемент ²/₃ получит номер III, и так далее; далее, элемент 1 получит номер, элемент 1¹/₂ получит номер + I, элемент 1²/₃ получит номер + II, и так далее; наконец, элемент 2 получит номер + ω, и элемент 3 получит номер ++ I.