Время переменных. Математический анализ в безумном мире - Бен Орлин Страница 15

Яркий ноябрьский день в Массачусетсе. Ветер сдувает листья с деревьев, словно зима спешит сорвать осенние украшения. Я держу в руке чашку чая и рассказываю про эту книгу, на тот момент представляющую собой неряшливо намеченные контуры и несколько наполовину готовых абзацев, своей подруге, преподавательнице английского языка Брайанне. Я объясняю, что это экскурсия в мир математического анализа, но без вычурных уравнений. Никаких замысловатых вычислений. Только идеи и понятия, иллюстрированные историями, охватывающими весь опыт человечества – от науки до поэзии, от философии до фантазии, от высокого искусства до повседневной жизни. Легко краснобайствовать, когда книга еще не написана.

Брайанна слушает хорошо. Она сама относит себя к «нематематическим людям», но, по моему мнению, любопытна, вдумчива, проницательна. Именно такая, как читатель, до которого я надеюсь достучаться. Пока мы болтаем, ей что-то приходит в голову – загадка, которую когда-то загадал ее коллега, учитель математики. Она хватает листок бумаги и рисует прямоугольник.

– Какова длина отмеченной точками части? – спрашивает она.

– Семь сантиметров, – отвечаю я. – Три плюс четыре.

– Хорошо, – говорит она, – а что насчет этого?

– По-прежнему семь, – говорю я. – Два горизонтальных участка в сумме дают четыре; два вертикальных – три. Если разбить линию на несколько частей, это не изменит общую длину.

– Правильно, – соглашается она. – А чему состоящая из точек часть равна сейчас?

– Все еще семь. По той же логике.

Она чертит снова:

– А сейчас?

– Семь…

– Хорошо, а если мы будем делать бесконечно малые шаги по этой лестнице и у нас получится такая форма?

Я нахмурился. Это теорема Пифагора, самое старое правило практически в любом учебнике: a² + b² = c². В этом случае если а = 3, а b = 4, то с = 5. Я так и сказал.

– Пять. Да, точно. – Брайанна наставила на меня карандаш, как микрофон. – А что здесь происходит?

В гостиной находятся следующие люди: (1) муж Брайанны Тайлер, в прошлом преподаватель математического анализа, а ныне предприниматель в сфере интеллектуального анализа данных, (2) моя жена Тарин, математик-исследователь, и (3) я, человек, который пишет книгу о математике. На троих у нас более 40 лет изучения математики и научные степени, полученные в Массачусетском технологическом институте, Калифорнийском университете в Беркли и Йеле. Мы все знаем всё о пределах и сходимости бесконечного ряда, о геометрии аппроксимации. Мы знаем, что семь не равно пяти.

Но перед этой задачей мы теряемся. Я чувствую себя так, словно мироздание меня одурачило – подкралось со спины и хлопнуло по левому плечу, чтобы я посмотрел не в том направлении. Я, кажется, слышу его хихиканье. Или это просто шум ветра.

– Неравномерная сходимость? – таинственно бормочет Тарин под нос.

– Нет четких пределов, – говорит Тайлер несколько неуверенно.

У меня самого в голове крутится несколько возможных опровержений в пику мирозданию, но ни одно из них ни капельки ничего не проясняет и не объясняет.

Все, что я могу сказать:

– Ух!

Загадка Брайанны нацелена в самое сердце математического анализа, в основополагающее философское понятие под названием предел. Предел – это конечный пункт назначения бесконечного процесса. Вы не обязательно достигнете предела: вы подходите к нему все ближе и ближе – ближе, чем это можно описать или вообразить. Брайанна в своей загадке установила по-настоящему «скользкий» предел. Он неким парадоксальным образом указывает сразу в двух направлениях. На каждом этапе длина равняется семи, а потом каким-то образом в самом конце вечности она становится пятью.

Подобные парадоксы давно одолевают математический анализ. Поколение спустя после того, как Готфрид Лейбниц и Исаак Ньютон впервые разработали эту часть математики, Джордж Беркли устраивал им трепку за небрежный образ мыслей. Ньютон требовал пристально изучать значения не до того, как они исчезнут (когда они все еще являются конечными числами), не после этого (когда они равны нулю), но когда они исчезают. Что он имел в виду?

«А что это за… исчезающие бесконечно малые? – глумился Беркли. – Они не являются ни конечными, ни бесконечно малыми величинами, ни даже ничем. Может быть, мы не будем называть их призраками былых величин?»